시계열 분석 - 자기회귀 모델(AR, Autoregressive Model): 데이터 사이언스의 필수 요소 이해하기

시계열 데이터 분석(Time Series Analysis)을 알아봄에 있어서 고전적 시계열 모델들을 먼저 살펴보고자 한다. 그중 자기회귀 모델(AR, Autoregressive Model)은 “현재는 과거에 종속된다”는 모델로 데이터의 자기 상관성을 분석하기 위해 사용된다.
이번 포스트에서는 AR 모델의 이론적 배경과 구체적인 작동 원리에 대해 자세히 탐구하고, 그 활용법에 대해 알아보고자 한다.

Table of Contents　

AR 모델(Autoregressive Model)의 기본 이론

AR 모델은 시계열 데이터의 현재 값이 과거의 여러 데이터 값에 의존한다는 아이디어를 기반으로 한다.

수학적 구조
- AR 모델은 시계열 데이터의 현재 값 $X_t$ 를 이전 $p$ 개의 데이터 값과 상수항, 오차 항의 선형 조합으로 표현한다.
- 모델의 일반적인 형태는
  $X_t= \alpha + \phi_1X_{t-1} + \phi_2X_{t-2} + \cdots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t$
  로 나타낼 수 있다.
- 여기서 $\phi$ 모델의 계수, $\epsilon_t$ 는 화이트 노이즈 오차 항이다.

AR 모델의 특성 및 가정

정상성(Stationarity)
- AR 모델은 시계열 데이터가 정상성을 가정한다. 즉, 시간에 따른 평균과 분산이 일정하며, 시간의 변화에 따라 자기상관 구조가 변하지 않아야 한다.
모델 차수(Order)
- AR 모델의 차수 $p$ 는 과거 몇 개의 시점을 고려할 것인가를 나타낸다. $p$ 값에 따라 모델의 복잡도가 달라진다.

AR 모델의 활용

예측
- 주식 시장, 경제 지표 등 시간에 따라 변하는 데이터의 미래 값을 예측하는 데 널리 사용된다.
데이터의 패턴 이해
- 데이터의 시간적 변화 패턴과 자기상관 관계를 이해하는 데 유용하다.

AR 모델의 장점과 한계

장점
- 구현이 간단하고, 계산적으로 효율적이다.
- 짧은 시계열 데이터에도 적용 가능하다.
한계
- 비정상 시계열 데이터에는 적용하기 어렵다.
- 실제 시계열 데이터가 복잡한 비선형 패턴을 가질 경우, 모델의 예측 능력이 제한적일 수 있다.

Python 구현 예제

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.ar_model import AutoReg
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 예제 데이터 생성
data = np.random.randn(100).cumsum() + 100

# 데이터를 pandas Series로 변환
ts = pd.Series(data)

# 학습 데이터와 테스트 데이터로 분리
train, test = ts[:80], ts[80:]

# 자기회귀 모델 피팅
model = AutoReg(train, lags=20)
model_fitted = model.fit()

# 예측
predictions = model_fitted.predict(start=len(train), end=len(train) + len(test)-1, dynamic=False)

# 테스트 데이터와 예측 결과를 시각화
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(train, label='Train')
plt.plot(test.index, test, label='Test', color='gray')
plt.plot(test.index, predictions, label='Predicted', color='red')
plt.title('Autoregressive Model')
plt.legend()
plt.show()

# 모델의 성능 평가
mse = mean_squared_error(test, predictions)
print(mse)

이 예제는 자기회귀 모델의 기본적인 구현과 활용 방법을 보여준다.
예측 결과(Predicted)를 보면 알겠지만 실제(Test) 데이터를 어느 정도 따라가는 결과를 보이기도 하는 반면, 아예 다른 방향으로 예측하는 경우도 발생하는 것을 볼 수 있다.

이러한 현상을 해결하기 위한 몇 가지 접근 방법을 알아보면,

차수(Lag)의 조정: 모델의 차수를 늘리거나 줄임으로써 예측의 정확도를 향상시킬 수 있다. 차수가 너무 낮으면 데이터의 중요한 패턴을 포착하지 못할 수 있고, 너무 높으면 불필요한 노이즈를 모델에 포함시킬 위험이 있다.
추가적인 특성 활용: 기타 외부 변수나 시계열의 다른 특성을 모델에 포함시켜 예측의 정확도를 높일 수 있다. 예를 들어, 계절성이나 추세와 같은 요소를 반영할 수 있다.
다른 시계열 모델과의 조합: AR 모델 외에도 이동 평균(MA), 자기회귀 이동 평균(ARMA), 자기회귀 통합 이동 평균(ARIMA) 등 다른 시계열 모델과 결합하여 사용하면 더욱 정확한 예측이 가능할 수 있다.
실시간 데이터 업데이트: 실시간 또는 가까운 과거 데이터를 사용하여 모델을 지속적으로 업데이트하면 예측의 지연을 줄일 수 있다.

결론

자기회귀 모델은 시계열 데이터 분석의 기본적이면서도 강력한 도구이다. 모델의 이론적 이해와 적절한 활용은 데이터 사이언스 분야에서 시계열 데이터의 복잡한 동적 변화를 효과적으로 모델링하고 예측하는 데 중요한 역할을 한다.

시계열 분석 – 자기회귀 모델(AR, Autoregressive Model): 데이터 사이언스의 필수 요소 이해하기

AR 모델(Autoregressive Model)의 기본 이론

AR 모델의 특성 및 가정

AR 모델의 활용

AR 모델의 장점과 한계

Python 구현 예제

결론

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