중심 극한 정리(Central Limit Theorem, CLT) 란? : 데이터 사이언스의 필수 요소 이해하기

중심 극한 정리(Central Limit Theorem, CLT)란 무엇일까?

중심 극한 정리는 통계학의 기본 이론 중 하나로, 간단히 말해 “충분히 큰 크기의 표본을 뽑을 때, 이 표본의 평균은 모집단의 평균을 중심으로 하는 정규 분포를 따른다”는 이론이다. 이것은 데이터 분석에서 매우 강력한 도구가 된다.

수학적 표현

중심 극한 정리를 수학적으로 표현하면 다음과 같다

여기서 ​은 표본 평균, 은 정규 분포, 는 모집단의 평균, 는 모집단의 분산, 그리고 은 표본의 크기를 나타낸다.

중심극한정리의 정의는 개의 독립적인 확률 변수 이 있다고 가정해 보자.
이들 확률 변수는 모두 동일한 확률 분포를 따르고, 평균이 이고 분산이 인 경우 이들 확률 변수의 합인 의 분포는 이 충분히 크다면(보통 ), 평균이 이고 분산이 인 정규분포에 대략적으로 따라간다. 즉, 이 커질수록 의 분포는 정규분포에 가까워진다.

왜 중요한가?

• 모집단에 대한 가정 불필요: 모집단의 분포에 관계없이 표본 평균이 정규 분포를 따른다는 사실을 알 수 있다.
• 신뢰 구간 및 가설 검정: 표본 데이터를 사용하여 모집단에 대한 신뢰 구간을 설정하고, 가설 검정을 수행할 수 있다.
• 대규모 데이터셋의 분석 용이: 대규모 데이터셋을 다룰 때, 중심 극한 정리는 표본 평균의 분포를 예측하는 데 도움이 된다.

실제 적용 예시

중심극한정리는 다양한 분야에서 사용된다. 가장 기본적인 예는 통계학에서 표본의 평균이 정규분포를 따른다는 것이다. 즉, 큰 수의 법칙과 함께, 중심극한정리를 사용하여 표본의 평균이 정규분포를 따르는 것을 수학적으로 증명할 수 있으며, 이를 통해 모집단의 평균과 분산을 추정하는 등의 다양한 통계적 추론을 할 수 있다.

쉬운 예를 들어 보면, 어느 도시의 주민들의 평균 체중을 알고 싶다고 가정해 보자. 이 도시의 모든 주민의 체중을 측정하는 것은 실질적으로 불가능하다. 대신, 이 도시에서 무작위로 선택된 사람들의 체중을 측정하여 표본 평균을 구한다. 이때, 중심 극한 정리에 따라, 충분히 큰 표본 크기를 가지면 이 표본 평균들은 도시 전체 주민의 평균 체중을 중심으로 하는 정규 분포를 따를 것이다. 이를 통해, 전체 주민의 체중에 대한 신뢰성 있는 추정치를 얻을 수 있다.

또한,
금융에서는 주가나 환율 등의 자산 가격 변동을 모형화하는 데에 중심극한정리가 사용된다. 즉, 수많은 작은 요인들이 자산 가격을 결정하는 것이므로, 중심극한정리를 사용하여 자산 가격의 분포를 추정할 수 있다.

공학에서는 중심극한정리를 사용하여 물리 현상을 모델링하는 데에 사용된다.
예를 들어, 노이즈가 있는 데이터를 처리할 때, 중심극한정리를 사용하여 데이터의 분포를 추정하고, 노이즈를 제거하는 등 중요한 정보를 복원하는데 사용할 수 있다.

생물학에서도 중심극한정리를 사용할 수 있습니다.
예를 들어, 대규모 인구 집단에서 얻은 생물학적 데이터를 분석할 때, 중심극한정리를 사용하여 이들 데이터의 분포를 추정하고, 통계적 추론을 수행할 수 있다.

중심극한정리는 기계학습과 인공지능 분야에서도 매우 중요하다.
예를 들어, 딥러닝 모델에서 매우 많은 수의 파라미터가 있고, 이들 파라미터의 합으로 예측을 수행하는 경우가 많다. 이 때, 중심극한정리를 사용하여 이들 합의 분포를 추정하고, 이를 통해 모델의 성능을 개선할 수 있다.

결론

중심 극한 정리는 데이터 과학의 근간을 이루는 중요한 이론이다. 이를 이해함으로써, 우리는 표본 데이터를 사용하여 모집단에 대한 더 신뢰할 수 있는 추론을 할 수 있게 된다. 데이터 과학에서의 이러한 이론적 배경은 실제 분석에서 매우 중요한 역할을 하며, 데이터로부터 의미 있는 인사이트를 도출하는 데 필수적인 이론이다.